正在使用3D軟體建模，忽然發現一件事：
「完美的圓形不存在」

若想要做出一個圓，只要邊長數量或者角柱邊數足夠多
就可以模擬出圓形的形狀

現實生活中不存在任何完美的形狀
受限於任何粒子的長度並非無限小，存在離散情形
趨於圓形的形式，是穩定、最低能量的形狀
包括宇宙星球、原子

但是透過電腦的訊號模擬，雖可以模擬出大部分完美的形狀
卻沒辦法「完美模擬出圓形」

圓柱的模擬 Cylinder

因為「完美圓形」的條件是，每個點都精確到與圓心相同距離
電腦訊號不可能模擬出無限多個點，所以必定存在誤差
圓周上的點到點之間，必然存在空隙

起初以為要建模做出完美圓柱，參數改成「Infinity」即可
但是程式運行卡住了，因為此數字無法模擬

可是，只要這個誤差足夠小，小到「讓人無法察覺」就好了
那此時就是微乎其微的小

那就用正多邊形，切成越多邊就越像一個完整的圓！
於是由上圖的一排角柱體（Cylinder）可看出，達到圓形的最低門檻，是「24」邊形
但此時仍然是有明顯的稜角

那再往上呢？如果要再更精細，要切成幾邊形？
正n邊形的n要是多少呢？要到什麼量級？

36、60、360、3600？
100、1000、10000？

到哪個數字以後，人通常就會認為此數「趨近於無限」？！

四個門檻閾值

在深入研究之後，我發現答案（趨近無限）會依隨情境而有不同變化
於是依照不同程度、層次作分級：

開始變成圓形的門檻，是「24」邊形
隔著電腦螢幕觀察，答案會是「360」邊形
若以現實世界正常人的標準，答案會是「1080」邊形
而以生物的理論極限來說，答案會是「21600」邊形

切成36份：每個轉角10度，遠遠看像個圓、有些微鋸齒感
切成60份：每個轉角6度，拉近看仍有明顯齒角
切成360份：非常接近圓形，每邊都是一度，人眼開始看不出來
切成1080份：已經是精密工業使用的等級，能讓99%人看不出來，每個邊0.333度

透過上圖觀看，你會發現100邊形以後，每一個基本上都長一樣了
這是因為隔著電腦螢幕（1920×1080）觀看，每個圓的邊角都被像素化
使得更高、更細緻的差異被壓縮而無法顯示
導致在256~512邊形左右以上，就看不出來任何差異變化
所以才會有「隔著電腦螢幕，答案會是360」的結論

而現實世界中，人的視覺、觸覺等細微的感官，大約能夠察覺到1000邊形
應該說在1000邊形以後，人類就將其視為一個圓了
由於人類只能在同時間處理有限個訊號，此時的訊號已經遠過人腦能認知的數量
對人類而言，就會在腦中擬合成一個真實的圓形
以多數人（99%）的標準來看，答案會是「1080」

其實對人眼受器來說，再更精細一個等級的，是角分（arcminute）
角分 = 將1度分成60等份，也就是 1度÷60 = 1/60度（0.01667°）

所以360*60=21600，總共切分成21600段，得到21600個邊長
最終每一段角度已經可以視作連續、無窮小的存在了
這是人眼極限能分辨的最小角度單位，等同於視覺的1pixel
以生物的理論極限來說，答案會是「21600」

當然還存在比「角分」更細小的單位：
1度（°）：1
1角分（′）：0.01667° => 1 ÷ 60 => 1/60
1角秒（″）：0.00027778° => 1 ÷ 60 ÷ 60 => 1/3600

等於是將一個圓切割成1296000份
但由於角分、角秒，這兩者的角度都非常小
所以沒必要切成1296000 這一百多萬這麼精細的等級
因為這已經接近、甚至超出了人體器官感受的極限
大腦無法解碼，已經失去意義了

1角分是人眼「勉強能夠分辨出兩個點」的最小角度
如果物體視角寬度達2角分，那麼對大多數人來說就很容易分辨了

所以
21600是生物理論上足夠多的無限（超過辨識系統上限，肉眼視為完美）

這讓我意識到
人一日呼吸約21600次（10800吸+10800呼）
而人一輩子大約也就是「21600天（60年）」左右的壽命
所以人的一生對人類來說，感受上也是趨近於無限的日子

而 86400（一整天的秒數） ÷ 4 = 21600
好像人的一生只是「時間整體裡的幾小時」
這個數字讓人感受到「看起來很多但是有限」，卻又有種「足以容納一切」的錯覺

若將一個人壽命比喻作 1/4個日子
那麼四代人可以過完生命中所有體驗，包含爆富、貧窮
開創、繁盛、延續、衰敗等階段，興盛衰亡的人生
當中的每個人只是體驗其中一部分

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目前電腦訊號3D建模的模擬，都是用三角形模擬出每一個面(poly)
稱為「三角形面片（Triangle Polygon）」

當然，若從電腦模擬、動畫遊戲的角度考量出發
由於人類目前的工藝技術來說，圓狀的影像處理多數落在256~512個邊
或者取360一整圈的角度，算是足夠好用相對粗糙、但效能超快的等級
（此處粗糙與否用生活、真實體驗評斷，雖然512在遊戲算是頂規等級
但若在現實用肉眼、用手觸摸，而非透過螢幕觀察，終究會有突兀、不真實感）

然而真實世界並不是「由三角形所構成」
電腦訊號 就像用離散的資料，透過微積分的極限逼近方式，模擬於真實世界的離散
終究只能取得近似
（就像π是無窮小數3.1415926535…，只能依照需求取得足夠精確的小數位數）

以絕大多數人而言，無法隔著螢幕區分360、21600的差異
若電腦遊戲使用21600邊形，則是過度且無謂的浪費

360剛好對應一年地球繞太陽轉是365.2422天，將近是完整的一圈角度(360°)
就如同，若不是仔細觀察與體驗
則有點感受不太到每天之間的溫度差異變化（n=365）
但卻能明顯體會四季的變化（n=4）

關於21600與「無限」

可是，若今天換作是「金錢」，只有21600元，會是無限嗎？
很明顯不是
21600元 是21600 * 1元，每一塊錢並非超過認知閾值

人會有無限的感覺
原因是「超過閾值就會被解析成一體」
然後足夠多的「一體」才會是無限

但如果「認知閾值是一疊鈔票（10000元）」
那麼21600 * 10000 = 兩億多元

對人感知上而言，就是無限、財富自由了

因為這是最貼近「人類可體驗的無限」夠大、但仍有限

拆解 60 × 6 × 60 = 21600 = 2⁶ × 3³ × 5² = 64 × 27 × 25 = 300 × 72
總共有84個因數

21600 這個數字 真的是最接近無窮的存在嗎?!

會不會是”42″，一切問題的答案？
還是”-1/12″（1+2+3+4+5+⋯）發散級數的解，才是無窮？
或者要更大數字，中國華人很愛的”一千萬”！
抑或化學常數，1 mole一莫耳(6.02*10^23)
乃至天文數字”Googol” (10^100)

但我認為，21600是完美的數字（雖然不是完全數）
同時也卡在人類認知系統的極限臨界點上

21600就是「極限」嗎？

最後，只要n邊形的n=21600
都能視作圓形嗎？人類就完全無法觀測感覺出來嗎？

當圓半徑超級無敵大的時候
ex：一整顆星球（地球）半徑6400公里
ex：或者我們將一個小圓無窮放大之後
放大每一個邊來看，近距離就能觀察到平面，就會感受到突兀感

可是在太空上，運用肉眼觀察，地球看起來還是一個圓形
這聽起來很不直觀，但這是比例問題

原因是 太空人觀察地球 跟眼睛看手上的球 都是這種圖形

用google maps拉到最遠看地球
就猶如我拿著一顆1m 正21600邊形的圓 用肉眼看

不管是看一顆小球，還是看整個地球
只要與它的觀察視角角度極小（拉得夠遠）
看起來就會是平滑、圓形的

所以半徑越大，從觀察的角度而言就是拿越近看

而當人身處地球，會覺得地球是一個平面
因為局部曲率趨近0

同場加印：球體的模擬 Sphere

對於球體（Sphere）來說，就沒有幾邊、幾角形
而是分成n段體，經線數、緯線數
像地球儀一樣被切分好多條橫軸、縱軸，形成網格狀的點線結構
所以不能叫做稱呼「n角球、n邊球」

因為較少有中文名詞，比較不常見：
分段球（Segmented Sphere）、UV球（UV不是紫外線xd）
U軸（Horizontal axis）：水平軸，類似2D圖像的X軸
V軸（Vertical axis）：垂直軸方向，類似2D圖像的Y軸

若要形容經線數32、緯線數32的球體：
Sphere 32×32（32×32球體）
Sphere with 32×32 Divisions（32×32 分割球體）
32×32 segmented sphere（32×32 分段球體）
1024-face sphere（1024面球體）

因為我經緯度相同，所以我簡稱他為：n段球

然而球體的模擬，卻比圓形還要更耗費效能、計算量更加龐大
因為經線 × 緯線會交會形成網格
若切成n段，總共會產生(n+1 )× (n+1) 個頂點，遠超圓柱的幾何複雜度

柱體（Cylinder）運算量是 O(n)
球體（Sphere）則是 O(n²)

以軟體模擬而言，球體256段就非常足夠用了（產生65536個頂點）
小弟的電腦本身能跑出1000段球體（產生1000000個頂點），須等待很久
但沒辦法執行21600段的圓形，會直接轉圈圈原地去世

結語

會有這篇文章，是在思考「為什麼一個一個的角度，最終會形成圓形？」
什麼時候從可數，變到「不可數」，那個界線在哪？
何時會從離散變成連續？
這就是人類觀測、感受到的極限，以及在大腦心理認知上的無窮？

因而探討我的感知、正常人的感知、受限於螢幕限制和生物極限

24小時制、360天
巴比倫曆法、占星、度量衡、天文
不得不再次讚嘆古人的智慧，在生活經驗中觀察入微

其他沒結論的

既然電腦訊號模擬不出圓形，那麼現實世界原子、電子是怎麼回事？
難道圓形，可以用正弦波表示??
只要形成完美的駐波 就是原子電子的運動方式(?

還是圓形從來沒存在過，其實只是因為波的頻率、節點數高達21600（甚至遠超過）導致人眼分不出來？甚至也高過儀器閾值(? 所以才會說是圓形？
圓形只是高頻波動穩定的幻覺？！